堆是数据结构中的一种重要结构，了解了“堆”的概念和操作，可以快速掌握堆排序。
堆的概念
堆是一种特殊的完全二叉树（complete binary tree）。如果一棵完全二叉树的所有节点的值都不小于其子节点，称之为大根堆（或大顶堆）；所有节点的值都不大于其子节点，称之为小根堆（或小顶堆）。
在数组（在0号下标存储根节点）中，容易得到下面的式子（这两个式子很重要）：
1.下标为i的节点，父节点坐标为(i-1)/2；
2.下标为i的节点，左子节点坐标为2*i+1，右子节点为2*i+2。
堆的建立和维护
堆可以支持多种操作，但现在我们关心的只有两个问题：
1.给定一个无序数组，如何建立为堆？
2.删除堆顶元素后，如何调整数组成为新堆？
先看第二个问题。假定我们已经有一个现成的大根堆。现在我们删除了根元素，但并没有移动别的元素。想想发生了什么：根元素空了，但其它元素还保持着堆的性质。我们可以把最后一个元素（代号A）移动到根元素的位置。如果不是特殊情况，则堆的性质被破坏。但这仅仅是由于A小于其某个子元素。于是，我们可以把A和这个子元素调换位置。如果A大于其所有子元素，则堆调整好了；否则，重复上述过程，A元素在树形结构中不断“下沉”，直到合适的位置，数组重新恢复堆的性质。上述过程一般称为“筛选”，方向显然是自上而下。
删除一个元素是如此，插入一个新元素也是如此。不同的是，我们把新元素放在末尾，然后和其父节点做比较，即自下而上筛选。
那么，第一个问题怎么解决呢？
我看过的数据结构的书很多都是从第一个非叶子结点向下筛选，直到根元素筛选完毕。这个方法叫“筛选法”，需要循环筛选n/2个元素。
但我们还可以借鉴“无中生有”的思路。我们可以视第一个元素为一个堆，然后不断向其中添加新元素。这个方法叫做“插入法”，需要循环插入(n-1)个元素。
由于筛选法和插入法的方式不同，所以，相同的数据，它们建立的堆一般不同。
大致了解堆之后，堆排序就是水到渠成的事情了。
算法概述/思路
我们需要一个升序的序列，怎么办呢？我们可以建立一个最小堆，然后每次输出根元素。但是，这个方法需要额外的空间（否则将造成大量的元素移动，其复杂度会飙升到O(n^2)）。如果我们需要就地排序（即不允许有O(n)空间复杂度），怎么办？
有办法。我们可以建立最大堆，然后我们倒着输出，在最后一个位置输出最大值，次末位置输出次大值……由于每次输出的最大元素会腾出第一个空间，因此，我们恰好可以放置这样的元素而不需要额外空间。很漂亮的想法，是不是？
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public class HeapSort { public static void main(String[] args) { int[] arr = { 50, 10, 90, 30, 70, 40, 80, 60, 20 }; System.out.println("排序之前："); for (int i = 0; i < arr.length; i++) { System.out.print(arr[i] + " "); } // 堆排序 heapSort(arr); System.out.println(); System.out.println("排序之后："); for (int i = 0; i < arr.length; i++) { System.out.print(arr[i] + " "); } } /** * 堆排序 */ private static void heapSort(int[] arr) { // 将待排序的序列构建成一个大顶堆 for (int i = arr.length / 2; i >= 0; i--){ heapAdjust(arr, i, arr.length); } // 逐步将每个最大值的根节点与末尾元素交换，并且再调整二叉树，使其成为大顶堆 for (int i = arr.length - 1; i > 0; i--) { swap(arr, 0, i); // 将堆顶记录和当前未经排序子序列的最后一个记录交换 heapAdjust(arr, 0, i); // 交换之后，需要重新检查堆是否符合大顶堆，不符合则要调整 } } /** * 构建堆的过程 * @param arr 需要排序的数组 * @param i 需要构建堆的根节点的序号 * @param n 数组的长度 */ private static void heapAdjust(int[] arr, int i, int n) { int child; int father; for (father = arr[i]; leftChild(i) < n; i = child) { child = leftChild(i); // 如果左子树小于右子树，则需要比较右子树和父节点 if (child != n - 1 && arr[child] < arr[child + 1]) { child++; // 序号增1，指向右子树 } // 如果父节点小于孩子结点，则需要交换 if (father < arr[child]) { arr[i] = arr[child]; } else { break; // 大顶堆结构未被破坏，不需要调整 } } arr[i] = father; } // 获取到左孩子结点 private static int leftChild(int i) { return 2 * i + 1; } // 交换元素位置 private static void swap(int[] arr, int index1, int index2) { int tmp = arr[index1]; arr[index1] = arr[index2]; arr[index2] = tmp; } } |
