1、浮点数
浮点数是C++
的第二组基本类型,它能够表示带小数部分的数字。不仅如此,浮点数的范围也比int
更大,可以表示更大范围的数字。
我们都知道在计算机当中,所有数据本质上都是转化成二进制存储的。整数很简单,存储的就是转化成二进制之后的01串,那么浮点数又是如何存储的呢?
很容易猜到的是浮点数存储的结果也是二进制,但相比于整型直接转化成二进制要复杂一些。
它需要先表示成下面这行式子:
这里的n即我们要存储的浮点数,s
表示符号位,m
是尾数,而e
则是阶数。
符号位很好理解,它和整型当中的符号位一样,0表示正数,1表示负数。m表示尾数,。我们这么看很抽象,来看一个例子,比如3.0,转化成二进制是,相当于。那么,。
我们了解了浮点数的表示方式,那么它又是如何存储在计算机当中的呢?这需要我们进一步地剖析其中的细节。
2、关于m
首先是m
,m
被定义成一个大于等于1,小于2的小数。我们可以简单写成1.xx,其中xx表示的就是小数的部分。
既然它总是大于等于1,小于2的,那么它的个位一定是1,我们就可以将它省略,仅仅看之后小数的部分。小数的部分,我们同样使用二进制来逼近。比如0.625,可以表示成0.5 + 0.125,即,表示成二进制就是,只不过这里它的最高位是从-1开始的。
以32位的浮点数为例,除去1位表示符号,8位表示阶数之后,还有23位留给m。由于我们舍掉了小数点之前的1,所以我们的阶数是从-1开始的,理论上等价于24个二进制位。
3、关于e
在浮点数存储当中,e是一个无符号整数。以32位浮点数为例,e一共有8位,可以表示0-255。
但e是可以为负数的,根据IEEE 754的规定,e的真实值必须再减去一个中间数。对于8位的e,它的中间数是127。比如e的实际值是10,但是存储的时候需要存储成127+10=137
。
除此之外,e还有另外三种情况:
- e不全为0,或全为1时,采用上述的规则表示
- e全为0时,e等于1-127,有效数字m不再默认加上1,这样是为了还原0.xxx的小数,以及接近于0的数
-
e全为1时,如果有效数字m全为0,表示无穷大,如果m不全为0,表示
nan
(not a number)
关于e的规则看起来有些复杂,初看觉得有些难以理解,为什么要用减去中间值的设计,而不用符号位?后来仔细思考了一下才发现,如果引入符号位很难区分0.xxx以及e就是等于0的情况,虽然也可以特判处理,但就没有现在这样优雅了。
觉得上文看不懂的小伙伴可以直接略过这段,毕竟这个是浮点数的实现原理,算是很底层的内容了,C++ primer上对于这部分也没有过多阐述。
4、浮点数的使用
C++当中有两种浮点数的书写方式,第一种是使用常规的小数点表示法:
1
2
|
double a = 1.23; float b = 3.43; |
另外一种写法是科学记数法,写成:
1
2
|
double a = 2.45e8; double b = 1e-7; |
2.45e8
表示,e之后可以跟正数也可以跟负数,但数字当中不能有空格。
5、浮点数类型
和C语言一样,C++也有三种浮点数类型:float
,double
和long double
。和整型一样,这三种类型都是浮点数,只不过表示的范围不同。
浮点数的范围有两个部分综合决定,一个部分是有效数字。比如14179是5位有效数字,而14000只有两位,因为后面三个0都是填充位,有效数字的位数不依赖小数点的位置。C++
当中要求,float
通常表示7位有效数字,double
通常16位位,而long double
至少和double
一样。
另外,它们能够表达的指数范围至少是-37到37。一般来说,float一共是4个字节32位,而double
是8个字节64位,当然这也取决于具体的运行环境。
6、注意事项
关于浮点数的使用有几点注意事项,千万要注意。
-
cout
输出浮点数会删除结尾的0 -
书写浮点数常量时默认为
double
类型,如果需要强制表示为float
类型,请在结尾加上后缀f或者F,如:2.34f - 由于浮点数有精度,不能直接判断两个浮点数是否相等,很有可能得不到预期结果,正确的做法是判断精度范围,
如:
1
2
3
4
5
|
double epsilon = 1e-8; // 判断a是否和b相等 if ( abs (a - b) < epsilon) { // todo } |
判断两个浮点数a和b是否相等,等价于两者的差的绝对值小于某一个精度。
范围问题,如运行下列代码将得到错误的结果:
1
2
3
4
|
float a = 2.3e22f; float b = a + 1.0f; cout << b - a << endl; |
输出的结果将是0,因为2.3e22是一个小数点左边有23位的数字,加上1之后,就是在第23位加上1。但是float
类型只能表示数字中的前6位或者前7位,表示不了这么高的精度,因此这个+1的操作完全没有生效。
这个问题是一个大坑,一不小心就会中招,千万要小心。
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注:文章转自微信公众号:Coder梁(ID:Coder_LT)