题目：在数组中的两个数字如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数
例如在数组｛7，5，6，4｝中，一共存在5对逆序对，分别是｛7，6｝，｛7，5｝，｛7，4｝，｛6，4｝，｛5，4｝。
看到这个题目，我们的第一反应就是顺序扫描整个数组。每扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和o(n）个数字做比较，因此这个算法的时间复杂度为o(n2)。我们尝试找找更快的算法。
我们以数组｛7，5，6，4｝为例来分析统计逆序对的过程，每次扫描到一个数字的时候，我们不能拿它和后面的每一个数字做比较，否则时间复杂度就是o(n2)因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。
如下图所示，我们先把数组分解称两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别茶城两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组｛7｝，｛5｝中7大于5，因此｛7，5｝组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组｛6｝，｛4｝中也有逆序对｛6，4｝。由于我们已经统计了这两队子数组内部逆序对，因此需要把这两对子数组排序，以免在以后的统计过程中再重复统计。
接下来我们统计两个长度为2的子数组之间的逆序对。
我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个子数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中的剩余数字的个数。如果第一个数组中的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后往前复制到一个辅助数组中去，确保辅助数组中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到数组之后，把对应的指针向前移动一位，接着来进行下一轮的比较。
经过前面详细的讨论，我们可以总结出统计逆序对的过程：先把数组分隔成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉，我们不难发现这个排序的过程就是归并排序。
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static int count = 0; // 将有二个有序数列a[first...mid]和a[mid...last]合并。 static void mergearray(int a[], int first, int mid, int last, int temp[]) { int i = first, j = mid + 1; int m = mid, n = last; int k = 0; while (i <= m && j <= n) { if (a[i] > a[j]) { // 左数组比右数组大 temp[k++] = a[j++]; // 因为如果a[i]此时比右数组的当前元素a[j]大， // 那么左数组中a[i]后面的元素就都比a[j]大 // 【因为数组此时是有序数组】 count += mid - i + 1; } else { temp[k++] = a[i++]; } } while (i <= m) { temp[k++] = a[i++]; } while (j <= n) { temp[k++] = a[j++]; } for (i = 0; i < k; i++) a[first + i] = temp[i]; } static void mergesort(int a[], int first, int last, int temp[]) { if (first < last) { int mid = (first + last) / 2; mergesort(a, first, mid, temp); // 左边有序 mergesort(a, mid + 1, last, temp); // 右边有序 mergearray(a, first, mid, last, temp); // 再将二个有序数列合并 } } static void mergesort(int a[]) { int[] p = new int[a.length]; mergesort(a, 0, a.length - 1, p); } |
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