背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和无限背包，这里主要讨论01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。
先说一下算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：
（1），v[i][0]=v[0][j]=0;
（2），v[i][j]=v[i-1][j] 当w[i]>j
（3），v[i][j]=max{v[i-1][j],v[i-1][j-w[i]]+v[i]} 当j>=w[i]
好的，我们的算法就是基于此三个结论式。
一、01背包：
1、二维数组法
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public class sf { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub int[] weight = {3,5,2,6,4}; //物品重量 int[] val = {4,4,3,5,3}; //物品价值 int m = 12; //背包容量 int n = val.length; //物品个数 int[][] f = new int[n+1][m+1]; //f[i][j]表示前i个物品能装入容量为j的背包中的最大价值 int[][] path = new int[n+1][m+1]; //初始化第一列和第一行 for(int i=0;i<f.length;i++){ f[i][0] = 0; } for(int i=0;i<f[0].length;i++){ f[0][i] = 0; } //通过公式迭代计算 for(int i=1;i<f.length;i++){ for(int j=1;j<f[0].length;j++){ if(weight[i-1]>j) f[i][j] = f[i-1][j]; else{ if(f[i-1][j]<f[i-1][j-weight[i-1]]+val[i-1]){ f[i][j] = f[i-1][j-weight[i-1]]+val[i-1]; path[i][j] = 1; }else{ f[i][j] = f[i-1][j]; } //f[i][j] = Math.max(f[i-1][j], f[i-1][j-weight[i-1]]+val[i-1]); } } } for(int i=0;i<f.length;i++){ for(int j=0;j<f[0].length;j++){ System.out.print(f[i][j]+" "); } System.out.println(); } int i=f.length-1; int j=f[0].length-1; while(i>0&&j>0){ if(path[i][j] == 1){ System.out.print("第"+i+"个物品装入 "); j -= weight[i-1]; } i--; } } } |
输出：
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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0 0 0 4 4 4 4 4 8 8 8 8 8 0 0 3 4 4 7 7 7 8 8 11 11 11 0 0 3 4 4 7 7 7 8 9 11 12 12 0 0 3 4 4 7 7 7 8 10 11 12 12 第4个物品装入 第3个物品装入 第1个物品装入 |
以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。
伪代码如下：
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for i=1..N for v=V..0 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; |
其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。
我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。
为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。
2、一维数组法（无须装满）
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public class sf { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub int[] weight = {3,5,2,6,4}; //物品重量 int[] val = {4,4,3,5,3}; //物品价值 int m = 12; //背包容量 int n = val.length; //物品个数 int[] f = new int[m+1]; for(int i=0;i<f.length;i++){ //不必装满则初始化为0 f[i] = 0; } for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=f.length-1;j>=weight[i];j--){ f[j] = Math.max(f[j], f[j-weight[i]]+val[i]); } } for(int i=0;i<f.length;i++){ System.out.print(f[i]+" "); } System.out.println(); System.out.println("最大价值为"+f[f.length-1]); } } |
输出
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0 0 3 4 4 7 7 7 8 10 11 12 12 最大价值为12 |
3、一维数组法（必须装满）
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public class sf { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub int[] weight = {3,5,2,6,4}; //物品重量 int[] val = {4,4,3,5,3}; //物品价值 int m = 12; //背包容量 int n = val.length; //物品个数 int[] f = new int[m+1]; for(int i=1;i<f.length;i++){ //必装满则f[0]=0,f[1...m]都初始化为无穷小 f[i] = Integer.MIN_VALUE; } for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=f.length-1;j>=weight[i];j--){ f[j] = Math.max(f[j], f[j-weight[i]]+val[i]); } } for(int i=0;i<f.length;i++){ System.out.print(f[i]+" "); } System.out.println(); System.out.println("最大价值为"+f[f.length-1]); } } |
输出
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0 -2147483648 3 4 3 7 6 7 8 10 11 12 11 最大价值为11 |
二、完全背包
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
但我们有更优的O(VN)的算法。
O(VN)的算法
这个算法使用一维数组，先看伪代码：
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for i=1..N for v=0..V f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight} |
你会发现，这个伪代码与P01的伪代码只有v的循环次序不同而已。
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public class test{ public static void main(String[] args){ int[] weight = {3,4,6,2,5}; int[] val = {6,8,7,5,9}; int maxw = 10; int[] f = new int[maxw+1]; for(int i=0;i<f.length;i++){ f[i] = 0; } for(int i=0;i<val.length;i++){ for(int j=weight[i];j<f.length;j++){ f[j] = Math.max(f[j], f[j-weight[i]]+val[i]); } } System.out.println(f[maxw]); } } |
输出
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总结
以上就是本文关于Java背包问题求解实例代码的全部内容，希望对大家有所帮助。如有不足之处，欢迎留言指出，小编会及时回复大家并进行修改，努力给广大编程工作及爱好者提供更优质的文章和更好的阅读体验。感谢朋友们对本站的支持！
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