问题描述：一个有n个元素的数组，这n个元素可以是正数也可以是负数，求最大子数组的和。
方法1：蛮力法
思路：最简单也是最容易想到的方法就是找出所有子数组，然后求所有子数组的和，在所有子数组的和中取最大值。
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/** * 方法1（蛮力法）：两次循环求最大子数组之和 */ public static int maxSubArray1(int[] a){ int i,j; int ThisSum=0; int MaxSum=0; for (i = 0; i < a.length; i++) { ThisSum=a[i]; for(j=i+1;j<a.length;j++){ ThisSum+=a[j]; if(ThisSum>MaxSum){ MaxSum=ThisSum; } } } return MaxSum; } |
方法2：优化的动态规划
思路：首先可以根据数组的最后一个元素a[n-1]与最大子数组的关系分为以下三种情况：
1) 最大子数组包含a[n-1]，即以a[n-1]结尾。
2) a[n-1]单独构成最大子数组。
3) 最大子数组不包含a[n-1]，那么求a[1,...,n-1]的最大子数组可以转换为求a[1,...,n-2]的最大子数组。
通过上述分析可以得出如下结论：假设已经计算出(a[0],...a[i-1])最大的一段数组和为All[i-1]，同时也计算出(a[0],...a[i-1])中包含a[i-1]的最大的一段数组和为End[i-1]，
则可以得出如下关系：All[i-1]=max{a[i-1],End[i-1],All[i-1]}。利用这个公式和动态规划的思想解决问题。(代码中还解决了起始位置，终止位置的问题)
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/** * 方法2：优化的动态规划方法 * nEnd就是通过“数组依次相加加到a[i]，然后与a[i]做比较”得来的，保存较大的。因为如果前面的数加到a[i] * 还没有a[i]本身大，那么前面的数也就对最大子数组和没有贡献。厉害 * nAll就是记录一下之前的新得到的nEnd和自身之前谁更大 */ public static int max(int m,int n){ return m>n?m:n; } public static int maxSubArray2(int[] a){ int nAll=a[0];//有n个数字数组的最大子数组之和 int nEnd=a[0];//有n个数字数组包含最后一个元素的子数组的最大和 for (int i = 1; i < a.length; i++) { nEnd=max(nEnd+a[i],a[i]); nAll=max(nEnd, nAll); } return nAll; } private static int begin=0; private static int end=0; /** * 求出最大子数组的开始begin，结尾end，以及整个子数组 */ public static int maxSubArray3(int[] a){ int maxSum=Integer.MIN_VALUE; int nSum=0; int nStart=0; for (int i = 0; i < a.length; i++) { if(nSum<0){ nSum=a[i]; nStart=i; } else{ nSum+=a[i]; } if(nSum>maxSum){ maxSum=nSum; begin=nStart; end=i; } } return maxSum; } |
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